Page 125 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 125

3. ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ (ΚΕΡΔΟΣ)
Έστω Κ(χ)=30χ -1000χ-50 το συνολικό κόστος χ μο-
2
νάδων ενός προιόντος και Ε(χ)=2χ -60χ +200χ+100 η
2
3
συνολική είσπραξη σε χιλιάδες ευρώ.
Να βρεθεί ο αριθμός των μονάδων που πρέπει να πάραχ-
θ ο ύν, ώστε να είναι κερδοφόρα η επιχείρηση (θετικός ρυθ-
μός μεταβολής κέρδους).

● Ανεξάρτητη μεταβλητή:
ο ι χ μονάδες προιόντος
πάραγωγής
Αν Ρ(χ) είναι το κέρδος
τότε
Ρ(χ)=Ε(χ)-Κ(χ)`
Ρ(χ)= 2χ -60χ +200χ+
2
3
+100-(30χ -
2
-1000χ-50)
=2χ -90χ +1200χ+
2
3
+150
Ο ρυθμός μεταβολής του
κέρδους είναι η παράγω-
γος Ρ'(χ)
Έτσι
Ρ'(χ)=( 2χ -90χ +1200χ+150)' =6χ -180χ+1200
2
3
2
=6(χ -30χ+200)
2
Eίναι
2
χ -30x+200 =0:
Δ=(-30) -4× 1× 200= 100> 0
2
15-5= 10
-(-30)± 100 30±10
χ= = = 15±5= ή
2× 1 2
15+5= 20

Θέλουμε θετικό ρυθμό μεταβολής, οπότε
χ< 10

Ρ'(χ)>0~6(χ -30χ+200))>0~ ή (αφού α=1>0)
2
χ> 20

Επομένως,
για να είναι κερδοφόρα η επιχείρηση πρέπει να παράγει
λιγότερα από 10 ή περισσότερα από 20 προιόντα.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017