Page 152 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 152

Π Ρ Ο Τ Α Σ Ε Ι Σ

1.
Αν η συνάρτηση f, είναι
παρ α γωγίσιμη σε ένα δ ι ά -

στημα Α, με f'(χ) 0, για
κάθ ε χ Α, τότε
η f είναι "1-1".

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω ότι η f δεν είναι "1-1"
Άρα, υπάρχουν α,β Α με

f(α)=f(β)
 Η f είναι σ υ ν ε χ ή ς στο
[α,β] αφού είναι
παραγωγίσιμη (άρα και συνεχής) στο Α.
 Η f είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο (α , β)
αφού είναι πάραγωγίσιμη στο Α
 f ( α ) = f ( β )
Τότε, σύμφωνα με το θεώρημα Rolle,
υπάρχει έ ν α τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν ξ (α,β) τέτοιο ώστε:

f ' ( ξ ) = 0, που
είναι άτοπο, αφού f'(χ) 0 για κάθ ε χ Α.
Άρα, η f είναι "1-1".

2.
Αν η συνάρτηση f, είναι
συνεχής στο διάστημα
[α, β] και παραγωγίσιμη

στο διάστημα (α, β), με
f'(χ) 0, για κάθ ε χ (α, β),
τότε f ( α ) f ( β ).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω ότι ισχύει: f(α)=f(β)
 Η f είναι σ υ ν ε χ ή ς
στο [α,β]
 Η f είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο (α,β)

 f ( α ) = f ( β )
Τότε, σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχει έ ν α τ ο υ λ ά

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017