Page 154 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 154

γωγίσιμη στο , άρα και συνεχής
 Η f είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο (ρ 1, ρ 2) αφού είναι παρ α -
γωγίσιμη στο
 f ( ρ 1 ) = f ( ρ 2 ) = 0, αφού ρ 1, ρ 2 είναι ρίζες της f

Τότε, σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχει
έ ν α τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν ξ (ρ 1, ρ 2) τέτοιο ώστε: f ' ( ξ ) = 0,
δηλαδή,
μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της f υπάρχει τουλάχιστον μία
ρίζα της f'.

5.
Αν η συνάρτηση f, είναι
δύο, τουλάχιστον, φορές
παρ α γωγίσιμη στο και έ-

χει τρεις ρίζες, τότε η f' έ-
χει δύο, τουλάχιστον ρίζες
και η f'' τουλάχιστον μία.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω
ρ 1, ρ 2, ρ 3 με ρ 1<ρ 2< ρ 3,

οι τρεις ρίζες της f
 Η f είναι σ υ ν ε χ ή ς στα
[ρ 1, ρ 2] και [ρ 2, ρ 3] αφού είναι παρ α γωγίσιμη στο άρα και
συνεχής
 Η f είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στα (ρ 1, ρ 2) και (ρ 2, ρ 3) αφού
είναι παραγωγίσιμη στο
 f(ρ 1)=f(ρ 2)=f(ρ 3)=0 αφού ρ 1, ρ 2, ρ 3 είναι ρίζες της f
Τότε, σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχουν
δ ύ ο τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν ρ ί ζ ε ς ξ 1 (ρ 1, ρ 2) και ξ 2 (ρ 2, ρ 3)

της εξίσωσης f ' ( χ ) = 0.
Άρα, η f' έχει δύο, τουλάχιστον ρίζες.
Ακόμη
 Η f' είναι σ υ ν ε χ ή ς στο [ξ 1, ξ 2] αφού είναι δύο φορές πα-
ρ α γωγίσιμη στο , συνεπώς
υπάρχει η f'', δηλαδή η f' είναι παρ α γωγίσιμη στο , άρα και
συνεχής
 Η f' είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο (ξ 1, ξ 2) αφού είναι παρ α -

γωγίσιμη στο
 f' ( ξ 1 ) = f' ( ξ 2 ) αφού ξ 1, ξ 2 είναι ρίζες της f'
Τότε, σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχει

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017