Page 159 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 159

Σ Τ Η Π Ρ Α Ξ Η . . .

ROLLE: ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ-ΡΙΖΑ ΤΗΣ f'(x)=0

Α ν τ ι μ ε τ ώ π ι σ η
Στη περίπτωση "επαλήθευση των υποθέσεων ... Rolle"
● Δείχνουμε ότι η f
● είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β]
● είναι παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα (α, β )
● Αποδεικνύουμε ότι ισχύει f(α) = f(β)
Στη περίπτωση "ύπαρξη ρίζας της f'(x) =0"
● ... όμοια με προηγούμενο ...
Π α ρ α τ ή ρ η σ η
● Στη δεύτερη περίπτωση, εναλλακτικά ζητούμενα:
● υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β): f'(ξ)=0
● η εξίσωση f'(ξ)=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α, β)

● η C f' τέμνει μία τουλάχιστον φορά τον άξονα χ'χ στο
(α, β)
● υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) ώστε η εφαπτομένη
της C f στο σημείο Μ(ξ, f(ξ)) να είναι παράλληλη στον
άξονα χ'χ
● στη περίπτωση ύπαρξης ριζας της f''(x) =0:
● βρίσκουμε τη f'
● εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle για την f' στο (α, β)
● στη περίπτωση ύπαρξης περισσοτέρων της μιάς ρίζας
της f'(x) =0:
● εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle για την f' σε καθένα από

τα διαστήματα (α, χ 1 ),..., ( χ ν , β)
● εναλλακτική αντιμετώπιση:
● θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση f' στο (α, β)
● θεώρημα ενδιάμεσων τιμών (0 f'((α, β)))
● προφανής ριζα
● απαγωγή σε άτοπο
(αν f'(ξ) 0 για κάθε ξ (α, β) ... άτοπο)
● για τη εξίσωση f(x)=0 εφαρμόζουμε Rolle σε μια αρχική
της f

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017