Page 155 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 155

έ ν α τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν ξ (ξ 1, ξ 2) τέτοιο ώστε: f '' ( ξ ) = 0,
δηλαδή, υπάρχει τουλάχιστον μία ριζα της f''.

6.

Αν η συνάρτηση f, είναι
δύο, τουλάχιστον, φορές
παρ α γωγίσιμη στο διάστη-
μα Α και ισχύει f''(χ) 0
για κάθε χ Α
να αποδείξετε ότι η f έχει
το πολύ δύο ρίζες στο Α.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω ότι η f έχει τρεις ρί-
ζες ρ 1, ρ 2, ρ 3 με ρ 1< ρ 2< ρ 3,
οπότε. f( ρ 1)=f( ρ 2)=f( ρ 3)=0
Έχουμε
 Η f είναι σ υ ν ε χ ή ς στα [ρ 1, ρ 2] και [ρ 2, ρ 3] αφού είναι
παραγωγίσιμη στο Α , άρα και συνεχής στο Α
 Η f είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στα (ρ 1, ρ 2) και (ρ 2, ρ 3) αφού
είναι παραγωγίσιμη στο Α

 f ( ρ 1 ) = f ( ρ 2 ) = f ( ρ 3 ) = 0 αφού
ρ 1, ρ 2, ρ 3 είναι ρίζες της f
Τότε, σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχουν
δ ύ ο τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν ρ ι ζ ε ς ξ 1 (ρ 1, ρ 2) και ξ 2 (ρ 2, ρ 3)
της εξίσωσης f ' ( χ ) = 0.
Άρα, η f' έχει δύο, τουλάχιστον ρίζες.
Ακόμη
 Η f' είναι σ υ ν ε χ ή ς στο [ξ 1, ξ 2] αφού είναι δύο φορές πα-
ρ α γωγίσιμη στο , συνεπώς

υπάρχει η f'', δηλαδή
η f' είναι παραγωγίσιμη στο , άρα και συνεχής
 Η f' είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο (ξ 1, ξ 2) αφού είναι παρ α -
γωγίσιμη στο
 f' ( ξ 1 ) = f' ( ξ 2 ) αφού ξ 1, ξ 2 είναι ρίζες της f'
Τότε, σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχει
έ ν α τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν ξ (ξ 1, ξ 2) τέτοιο ώστε: f '' ( ξ ) = 0,
άτοπο, αφού

f''(χ) 0 για κάθε χ Α άρ α και για ξ (ξ 1, ξ 2)
δηλαδή
η f έχει το πολύ δύο ρίζες στο Α.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017