Page 153 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 153

χ ι σ τ ο ν ξ (α,β) τέτοιο ώστε: f ' ( ξ ) = 0, που είναι άτοπο,
αφού f'(χ) 0 για κάθε χ (α,β).
Άρα, η f είναι "1-1".

3.
Αν η συνάρτηση f, είναι
παρ α γωγίσιμη στο , τότε
μεταξύ δύο διαδοχικών ρι-
ζών της f' υπάρχει το πο-
λύ μια ρίζα της f.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω ξ 1, ξ 2 με ξ 1< ξ 2, δύο

διαδοχικές ρίζες της f'
Αν η f έχει δύο ρίζες ρ 1, ρ 2
με ρ 1 < ρ 2 μεταξύ των δια-
δοχικών ριζών της f' (ξ 1 < ρ 1 < ρ 2 < ξ 2)
 Η f είναι σ υ ν ε χ ή ς στο [ρ 1, ρ 2] αφού είναι παραγωγίσιμη
στο , άρα και συνεχής
 Είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο (ρ 1, ρ 2) αφού είναι παρ α γωγί-
σιμη στο

 f ( ρ 1 ) = f ( ρ 2 ) = 0, αφού ρ 1, ρ 2 είναι ρίζες της f
Τότε, σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχει μ ί α τ ο υ λ ά
χ ι σ τ ο ν ρ ί ζ α ξ 3 (ρ 1, ρ 2) της εξίσωσης f ' ( χ ) = 0, που
είναι άτοπο, γιατί α π ό την υποθεση η f' έχει δύο ρίζες και όχι
τρεις.
Άρα, μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της f' υπάρχει το πολύ μία
ρίζα της f.

4.

Αν η συνάρτηση f, είναι
παρ α γωγίσιμη στο , τότε
μεταξύ δύο διαδοχικών ρι-
ζών της f υπάρχει τουλά-
χιστον μία ρίζα της f'.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αν η f έχει δύο διαδοχικές
ρίζες ρ 1, ρ 2 με ρ 1 < ρ 2
 Η f είναι σ υ ν ε χ ή ς στο
[ρ 1, ρ 2] αφού είναι παρα-

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017