Page 162 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 162

3. ROLLE – ΥΠΑΡΞΗ ΔΥΟ ΡΙΖΩΝ ΤΗΣ f'(x)=0
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
2x ημ2χ+χ συν2χ=συν2χ
3
4

έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο διάστημα (-1, 1).

Η δοσμένη σχέση δίνει ισ ο -
δύναμα

2x ημ2χ+χ συν2χ=
3
4

συν2χ`
2x ημ2χ+χ συν2χ-συν2χ
3
4

=0`
(χ 4 )' ημ2χ+χ 4 ημ2χ ' -
2 2
ημ2χ '
- = 0`
2
1 ×(χ ×ημ2χ)'- 1 ×(ημ2χ)'=
4
2 2

=0`
1 × (χ ×ημ2χ- ημ2χ)' =0`
4
2

[ 1 × (χ -1)× ημ2χ]' =0
4
2

Θεωρούμε τη συνάρτηση

h(x)= 1 × (χ -1)× ημ2χ
4
2
ορισμένη στο , άρα και στο (-1, 1)

 η h είναι συνεχής σ τ a διασ τ ήματα (-1, 0), (0, 1),
αφού είναι συνεχής στο
σαν γινόμενο συνεχών συναρτήσεων
 η h είναι πάραγωγίσιμη στa διάστηματα (-1, 0), (0, 1),
αφού είναι συνεχής στο
σαν γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με
3
4
h'(x)= 2x ημ2χ+χ συν2χ-συν2χ

h(-1)=((-1) -1)ημ(-2)= 0× ημ(-2) 0
4
f(-1)= f(0)
h(0)=(0 -1)ημ(0)=(-1)× 0 0
4

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017