Page 165 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 165

5. ROLLE – ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο
x 2 +2 γ x 1
f(x)=
αx+β 1 x 5
2
Να προσδιορίσετε τα α,β,γ , με γ<0, ώστε για τη συνάρ-
τηση f να ισχύει το θεώρημα Rolle.

Αφού για τη συνάρτηση f
ισχύει τ ο θεώρημα Rolle,
 η f είναι συνεχής στα
5
[γ,1), (1, ] σαν πολυω-
2
νυμική, καθώς και στη
θέση x 0 = 1
Έτσι,
lim f(x)= lim f(x)= f(1)`
x 1 x 1
→
→
α+β= 3 (1)
 η f είναι παραγωγίσιμη
5
στα (γ,1), (1, ) σαν πο-
2
λυωνυμική, καθώς και στη θέση x 0 = 1,
f(x)-f(1) f(x)-f(1)
συνεπώς, lim = lim ` α= 2, αφού
→
x 1 x-1 x 1 x-1
→
2
2
2
(1)
lim f(x)-f(1) = lim x +2-(α+β) = lim x +2-3 lim x -1
x 1→ x-1 x 1→ x-1 x 1→ x-1 x 1→ x-1
(x-1)(χ+1)
= lim = lim(χ+1)= 1+1= 2
x 1→ x-1 x 1→

(1)
lim f(x)-f(x ) = lim αx+β-f(1) = lim αx+β-α-β lim αx-α
0
x 1→ x-x x 1→ x-1 x 1→ x-1 x 1→ x-1
0
(x-1)
= lim = lim α= α
x 1→ x-1 x 1→
Από την (1) προκύπτει: β=1
 Α π ό τη τρίτη υπόθεση του θεώρηματιος Rolle

5 5 γ=-2
f(γ)= f `γ 2 2 2× 1 ` γ 2 4`
2 2 γ 2 0 απορρίπτεται

Οι τιμες α=2, β=1 και γ=-2, επαληθεύουν τις σχέσεις συνέ-
χειας και παραγωγισιμότητας.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017