Page 168 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 168

ROLLE: ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΧΕΣΗΣ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ f'(x) =0

Δ ο σ μ έ ν α

● Σχέση, συνήθως μεταξύ των άκρων του διαστήματος και
τιμών των άκρων

Α ν τ ι μ ε τ ώ π ι σ η
Στη περίπτωση απόδειξης σχέσης
● Φέρνουμε όλους τους όρους της προς απόδειξη σχέσης,
στο πρώτο μέλος, ώστε το δεύτερο να είναι ίσο με μηδέν
● αντικαθιστούμε το ξ, χ 0 κλπ με το χ

● μετασχηματίζουμε τη παραπάνω ισότητα, με τη βοήθεια
των κανόνων παραγώγων, σε μια ισότητα με πρώτο μέ -
λος τη παράγωγο μιας παράστασης, έστω Α, και δεύτερο
μέλος ίσο με μηδέν
● θεωρούμε τη συνάρτηση h(x)=A
● εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle για τη συνάρτηση h

Π α ρ α τ ή ρ η σ η

● Tους τρόπους με τους οποίους μετασχηματίζουμε τη
ζητούμενη παράσταση Α σε παράγωγο, για λόγους κα -
τανόησης θα τους εξετάσουμε σε παραδείγματα
● στη περίπτωση που η δοσμένη σχέση αναφέρεται στα ά -
κρα του κλειστού διαστήματος [α, β], μεταφέρουμε τους
όρους που αναφέρονται στο α στο ένα μέλος ενώ τους
όρους που αναφέρονται στο β, στο άλλο μέλος.
Αντικαθιστώντας το α (ή β) με χ, προσδιορίζουμε τη συ -
νάρτηση h για την οποία θα εφαρμόσουμε θεώρημα Rolle.
● στη προσπάθεια να εφαρμόσουμε τους κανόνες παραγώ -
γισης ο πολλαπλασιασμός με e ή e -χ (αφού (e )'= e και
x
x
x
-χ -χ
(e )'= - e ), αντικατάστα ση του 1 με (χ)'
πολλές φορές μας λύνουν τα χέρια.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017