Page 170 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 170

2. ROLLE – ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΧΕΣΗΣ
Δίνεται η πάραγωγίσιμη συνάρτηση f: , για την οποία
ισχύει: f(1)=3 και f(2) = 6
Nα αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (1, 2), τέ-
τοιο ώστε: f'(ξ)= 2 ξ

Η ζητούμενη σχέση γίνεται
f'(ξ)=2ξ f'(ξ)-2ξ=0
θέτοντας όπου ξ το χ
f'(χ)-2χ= 0

2
[f(χ)-χ ]' = 0

Θεωρούμε τη συνάρτηση
2
h(x)=f(x)-x
ορισμένη στο [1, 2]

● Η h είναι παραγωγίσιμη ά-
ρα και συνεχής στο [1, 2]
σαν άθροισμα παραγωγίσι-
μων συναρτήσεων με
h'(x)= f'(x)-2x

h(1)= f(1)-1 2 3 1 2
h(1)= h(2)
h(2)= f(2)-2 2 6 4 2

Επομένως, ισχύουν οι υποθέσεις του θ. Rolle για την h στο
[1, 2], οπότε θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (1, 2) τέτοιο ώσ-
τε h'(ξ)=0
Άρα,
h'(ξ)=0 f'(ξ)-2ξ =0 f'(ξ)=2ξ

Σ χ ό λ ι ο

ΟΔΗΓΟΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ:
Γενική μορφή ζητούμενης σχέσης f'(ξ)=κ
Ε ύ ρ ε σ η τ η ς h
f'(x)=κ` f'(x)- κ =0 ` f'(x)- (κχ)' =0
`( f(x)- κχ)' =0 ~h(x)= f(x)-κχ

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017