Page 171 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 171

3. ROLLE – ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΧΕΣΗΣ
Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [α, β] με χ>0, για
την οποία ισχύει: lnf( β )-lnf(α) = β-α
Nα αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α, β),
τέτοιο ώστε: f'( ξ ) = f( ξ )

Η ζητούμενη σχέση θέτον-
τας όπου ξ το χ, γίνεται:
f'(χ)= f(χ)
f'(χ)-f(χ)= 0

f'(χ)e -χ -f(χ)e -χ = 0

f'(χ)e -χ +f(χ)(e )' = 0
-χ
[f(χ)e ]' = 0
-χ
εναλλακτικά
lnf(β)-lnf(α)= β-α
lnf(α)-α= lnf(β)-β

lnf(α)+lne -α = lnf(β)+lne -β

-β
-β
ln[f(α)× e ]= ln[f(β)× e ] f(α)× e -α = f(β)× e (1)
-α
(για α=χ ή β=χ)
Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x)=f(x)× e ορισμένη στο [α,β]
-χ
● Η h είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής στο [α, β] σαν ά-
θροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με
h'(x)= f'(x)× e -χ -f(x)× e -χ

h(α)= f(α)× e -α (1 )
h(α)= h(β)
h(β)= f(β)× e -β
Aπ'το θ. Rolle... h'(ξ)= 0`f'(ξ)× e f(ξ)× e = 0 f'(ξ)= f(ξ)

Σ χ ό λ ι ο

ΟΔΗΓΟΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ:
Γενική μορφή ζητούμενης σχέσης f'(ξ)=κ×f( ξ )
Ε ύ ρ ε σ η τ η ς h
f'(x)=κ×f(x)`f'(x)-κ×f(x)=0 `f'(x)×e - k x -κ × f(x)×e - kx =0
`f'(x)×e - k x +×f(x) ×(e - kx )'=0` [f(x)×e - k x )'=0
- kx
~h(x)= f(x) × e
 Aν έχουμε ... f'(x)+ κ×f(x) =0 πολλαπλασιάζουμε με e kx

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017