Page 176 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 176

8. ROLLE – ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΧΕΣΗΣ
Δίνονται ο ι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g : [2, 3] , με
f(x)× g (x) 0 για κάθε χ (2, 3) και για τις οποίες ισχύει:
f(2)=g(3)=3, f(3)=g(2)=4
Nα αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (2, 3),
f'(ξ) g'(ξ)
τέτοιο ώστε: + =0
f(ξ) g(ξ)

Η ζητούμενη σχέση για ξ=χ διαδοχικά δίνει

f'(χ) + g'(χ) = 0
f(χ) g(χ)
[ln| f(χ)|] ' +[ln| f(g)|] ' = 0~

[ln| f(χ)| +ln| f(g)|] ' 0
Θεωρούμε τη συνάρτηση
h(x)=ln| f(χ)| +ln| g(χ)|

ορισμένη στο [2, 3]
● Η h είναι παραγωγίσιμη
άρα και συνεχή ς στο
[2, 3]... με
h'(x)=[ln| f(χ)| +ln| g(χ)| ] '
f'(χ) g'(χ)
= +
f(χ) g(χ)

h(2)= ln| f(2)| +ln| g(2) | ln3 +ln4 ln12
h(2)= h(3)
h(3)= ln| f(3)| +ln| g(3)| ln4+ln3 ln12
f'(ξ) g'(ξ)
Aπ'το θ. Rolle... h'(ξ)=0 + = 0
f(ξ) g(ξ)
Σ χ ό λ ι ο

ΟΔΗΓΟΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ:
f'(ξ) g'(ξ)
Γενική μορφή ζητούμενης σχέσης f(ξ) + g(ξ) = 0

Ε ύ ρ ε σ η τ η ς h με
f(x)× g (x) 0 και f(α)=g (β), f(β)=g (α)
f'(ξ) + g'(ξ) = 0~[ln| f(χ)|] ' +[ln| f(g)|] ' = 0
f(ξ) g(ξ)
~[ln| f(χ)| +ln| f(g)|] ' 0
~h(x)= ln| f(χ)| +ln| g(χ)|

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017