Page 178 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 178

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. ROLLE – ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟ ΠΟΛΥ ΜΙΑ ΡΙΖΑ
Nα αποδείξετε ότι εξίσωση χ = 3×χ+α, με α , έχει το
3
πολύ μια πραγματική ρίζα στο διάστημα (-1, 1) .

Η εξίσωση γίνεται: x -3χ-α=0
3
και έστω ότι έχει δύο ρίζες
x , x με x <x
1
2
1
2
Θεωρούμε τη συνάρτηση
f(x)=x -3χ-α, χ
3
για την οποία ισχύει
f(x )=f(x )=0
1
2
● Η f είναι συνεχής στο δι-
άστημα [x , x ] (πράξεις
1 2
συνεχών)
● Η f είναι παραγωγίσιμη
στο (x , x ) (πράξεις πα-
1
2
ραγωγίσιμων)
με f'(x)=3x -3, χ
2
f(x )= f(x ) =0
1 2
Επομένως, ισχύουν οι υποθέσεις του θ. Rolle για την f στο
[x , x ] και θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (x , x ) (-1,1)
2
1
1
2
τέτοιο, ώστε
ξ=-1 (-1,1)
2
f'(ξ)= 0`3ξ -3= 0`ξ -1= 0` ή
2
ξ= 1 (-1,1)

δηλαδή η f'(x)=0 είναι αδύνατη
Άρα, εξίσωση x -3χ-α=0 δεν μπορεί να έχει δύο πραγματι-
3
κές άνισες ρίζες και έχει το πολύ μία πραγματική ρίζα .

Σ χ ό λ ι ο

Από τη στιγμή που αποκλείουμε τουλάχιστον δύο ρίζες, απο-
μένει η εξίσωση να έχει καμμία ή μία ριζα, δηλαδή το πολύ μία .

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017