Page 179 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 179

2. ROLLE – ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟ ΠΟΛΥ ΕΝΑ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ
Nα αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτή -
σεων f(x)= χ -x και g(x)=2×χ+α, με α ,
3

έχουν το πολύ ένα κοινό σημείο με τετμημένη που ανήκει
στο διάστημα (-1, 1) .

Οι C , C έχουν κοινό σημείο, έστω Μ, αν f(x)=g(x), δηλαδή
g
f
x -χ=2χ+α`x -3χ-α=0 (1)
3
3
και έστω ότι η (1) έχει δύο
ρίζες x , x με x <x
1 2 1 2
Θεωρούμε τη συνάρτηση
h(x)=x -3χ-α, χ
3
για την οποία ισχύει
h(x )=h(x )=0
2
1
● Η h είναι συνεχής στο δι-
άστημα [x , x ] (πράξεις
2
1
συνεχών)
● Η h είναι παραγωγίσιμη
στο (x , x ) (πράξεις πα-
2
1
ραγωγίσιμων)
με h'(x)=3x -3, χ
2
h(x )= h(x ) =0
1
2
Επομένως, ισχύουν οι υποθέσεις του θ. Rolle για την f στο
[x , x ] και θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (x , x ) (-1,1)
1 2 1 2
τέτοιο, ώστε
ξ=-1 (-1,1)
2
2
h'(ξ)= 0`3ξ -3= 0`ξ -1= 0` ή
ξ= 1 (-1,1)
δηλαδή η h'(x)=0 είναι αδύνατη

Άρα, εξίσωση x -3χ-α=0 δεν μπορεί να έχει δύο πραγματι-
3
κές άνισες ρίζες και έχει το πολύ μία πραγματική ρίζα, δηλαδή

οι C f και C g έχουν το πολύ ένα κοινό σημείο.

Σ χ ό λ ι ο

Εναλλακτική περίπτωση του προηγούμενου παραδ ε ίγματος

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017