Page 180 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 180

3. ROLLE – ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟ ΠΟΛΥ ΔΥΟ ΡΙΖΕΣ
Nα αποδείξετε ότι εξίσωση e -χ = e×χ, με x , έχει το πολύ
δύο πραγματικές και άνισες ρίζες .

Η εξίσωση γίνεται: e -eχ=0 και έστω ότι έχει τρεις ρίζες
x , x , x με x <x <x
3
1
2
3
2
1
Θεωρούμε τη συνάρτηση
f(x)=e -χ -eχ, χ
για την οποία ισχύει
f(x )=f(x )=f(x )=0
1 2 3
● Η f είναι συνεχής σ τ α δι-
ασ τ ήματα [x , x ], [x , x ]
1 2 2 3
(πράξεις συνεχών)
● Η f είναι παραγωγίσιμη
σ τ α (x , x ) , (x , x ) (πρά-
1 2 2 3
ξεις παραγωγίσιμων) μ ε
f'(x)=-e -x -e=-(e -x +1)

f(x )= f(x )= f(x ) =0
1
3
2
Επομένως, ισχύουν οι υποθέσεις του θ. Rolle για την f στα
[x , x ] , [x , x ] και θα υπάρχουν ένα τουλάχιστον ξ 1 [x , x ]
1
2
3
1
2
2
και ένα ξ 2 [x , x ], τέτοια, ώστε
3
2
f'(ξ )= f'(ξ )= 0`-(e -ξ 1 +1)=-(e -ξ 2 +1)= 0 άτοπο
2
1

Α λ λ ι ώ ς
Για τη συνάρτηση f'(x)=-e -χ -e, στο διάστημα [ ξ 1, ξ 2] είναι
● Η f' είναι συνεχής στο διάστημα [ξ , ξ ] (πράξεις συνεχών)
2
1
● Η f' είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (ξ , ξ ) (πράξεις πα-
1
2
ραγωγίσιμων)
f'(ξ )= f'(ξ ) =0
2
1
Επομένως, ισχύουν οι υποθέσεις του θ. Rolle για την f' στο
[ξ , ξ ] και θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (ξ , ξ ) τέτοιο,
1 2 1 2
ώστε: f''(ξ)=0 άτοπο
αφού, f''(x)= (-e -χ -e)' =e -χ 0
Άρα, εξίσωση e - χ = e×χ δεν μπορεί να έχει τρεις πραγματικές
άνισες ρίζες και έχει το πολύ δύο πραγματικές και άνισες ρί-
ζ ε ς .

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017