Page 175 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 175

7. ROLLE – ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΧΕΣΗΣ
Δίνονται ο ι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g : [0,1] , με
f(x)× g (x) 0 για κάθε χ (0, 1) και για τις οποίες ισχύει:
f(0)=g(1)=0
Nα αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (0, 1),
f'(ξ) g'(ξ)
τέτοιο ώστε: + =0
f(ξ) g(ξ)

Η ζητούμενη σχέση δίνει
f'(ξ) + g'(ξ) = 0
f(ξ) g(ξ)

f'(ξ)× g(ξ)+f(ξ)× g'(ξ) = 0
f(ξ)× g(ξ)

θέτοντας όπου ξ το χ,
[f(x)× g(x)]' = 0~
f(x)× g(x)
[f(x)× g(x)]' = 0

Θεωρούμε τη συνάρτηση
h(x)=f(χ)× g(χ)
ορισμένη στο [0, 1]
● Η h είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής στο [0, 1]... με
h'(x)=f'(χ)× g(χ)+f(χ)× g'(χ)
h(0)= f(0)× g(0) 0× g(0) 0
h(0)= h(1)
h(1)= f(1)× g(1) f(1)× 0 0
f(ξ)×g(ξ) 0
Aπ'το θ. Rolle... h'(ξ)=0 f'(ξ)× g(ξ)+f(ξ)× g'(ξ) =0

f'(ξ)× g(ξ) f(ξ) × g'(ξ) f'(ξ) g'(ξ)
+ = 0~ + = 0
f(ξ)× g(ξ) f(ξ) × g(ξ) f(ξ) g(ξ)

Σ χ ό λ ι ο

ΟΔΗΓΟΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ:
f'(ξ) g'(ξ)
Γενική μορφή ζητούμενης σχέσης f(ξ) + g(ξ) = 0

Ε ύ ρ ε σ η τ η ς h με f(x)× g (x) 0 και f(α)=g (β)= α
f'(ξ) + g'(ξ) = 0~ f'(ξ)× g(ξ)+f(ξ)× g'(ξ) = 0 [f(ξ)× g(ξ)]' = 0
f(ξ) g(ξ) f(ξ)× g(ξ) f(ξ)× g(ξ)
f(ξ)×g(ξ) 0 h x( ) = f(χ)× g(χ)
~

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017