Page 172 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 172

4. ROLLE – ΑΠΟΔΕΙΞΗ (ΓΕΝΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΟΥ 3)
Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με χ , για την
1
οποία ισχύει: f 2 1 και f(0)= e
Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση f'(x)=f(x)ημχ έχει μια τουλά-

π
χιστον λύση στο διάστημα 0, 2

Η ζητούμενη σχέση γίνεται
f'(x)= f(x)× ημχ

f'(x)-f(x)× ημχ= 0
f'(x)+f(x)×(συνχ)' = 0

f'(x)× e συνχ +f(x)×(συνχ)' ×
e συνχ = 0

f'(x)× e συνχ +f(x)×(e συνχ )' = 0

~[f(x)× e συνχ ]' = 0
Θεωρούμε τη συνάρτηση
π
h(x)=f(x)× e συνχ , x 0,
2
π
● Η h είναι συνεχής στο 0, ...
2
π
● Η h είναι παραγωγίσιμη στο 0, ... με h'(x)=f'(x)-f(x)× ημχ
2
1
h(0)= f(0)× e συν0 = × e = 1
1
π
e h(0)= h( )
h( )= f( )× e συν 2 = 1× e = 1× 1= 1 2
0
2 2
Aπ'το θ. Rolle... h'(ξ)=0` ... το ζητούμενο

Σ χ ό λ ι ο

ΟΔΗΓΟΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ:
Γενική μορφή ζητούμενης σχέσης f'(ξ)+ g(ξ) × f(ξ)=0
Ε ύ ρ ε σ η τ η ς h με G(x) μια αρχικη της g(x)
f'(x)+ g(x)×f(x)=0` f'(x)+ G'(x) × f(x)=0
` f'(x)× e G ( x + e G ( x ) ×G'(x)×f(x)=0
` f'(x)×e G ( x + (e G ( x ) )'×f(x)=0
`[e G ( x ) ×f(x)]'=0 ~h(x)= f(x)× e G ( x )

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017