Page 169 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 169

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. ROLLE – ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΧΕΣΗΣ
Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [α, β], για την
οποία ισχύει: α +f(β)=β +f(α)
3
3
Nα αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α, β), τέ-

2
τοιο ώστε: f'(ξ)=3ξ

Η ζητούμενη σχέση γίνεται
f'(ξ)=3ξ 2 f'(ξ)-3ξ =0
2
θέτοντας όπου ξ το χ
f'(χ)-3χ = 0
2

[f(χ)-χ ]' = 0
3
εναλλακτικά
α 3 +f(β)= β 3 +f(α)

f(α)- 3 = f(β)-β (1)
3
(για α=χ ή β=χ)
Θεωρούμε τη συνάρτηση
3
h(x)=f(x)-x
ορισμένη στο [α,β]
● Η h είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής στο [α, β] σαν ά-
θροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με
h'(x)= f'(x)-3x 2

h(α)= f(α)-α 3 (1 )
h(α)= h(β)
h(β)= f(β)-β 3
Επομένως, ισχύουν οι υποθέσεις του θ. Rolle για την h στο
[α, β], οπότε θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α, β) τέτοιο ώσ-
τε h'(ξ)=0

2
Άρα, h'(ξ)=0 f'(ξ)-3ξ =0 f'(ξ)=3ξ
2
Σ χ ό λ ι ο

ΟΔΗΓΟΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ:
Γενική μορφή ζητούμενης σχέσης f'(ξ)=ν×ξ ν - 1
Ε ύ ρ ε σ η τ η ς h
f'(x)=ν×x ν - 1 ` f'(x)-(x )'=0`[ f(x)-x ]'=0~
ν
ν

ν
h(x)= f(x)-x

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017