Page 173 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 173

5. ROLLE – ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΧΕΣΗΣ
Δίνεται η δύο φορές πάραγωγίσιμη συνάρτησ η f: , με
f'(x) 0 για την οποια ισχύει: f(1)= f'(2) και f'(1)= f(2)
Nα αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (1, 2),
τέτοιο ώστε: f''(ξ)= -f(ξ)

Η ζητούμενη σχέση γίνεται: f''(ξ)=-f(ξ) f''(ξ)+f(ξ)=0
θέτοντας όπου ξ το χ,
f''(x)+f(x)= 0 2f'(x)× f''(x)+2f'(x)× f(x)= 0

[f'(x)] 2 ' + [f(x)] 2 ' = 0

([f'(x)] 2 [f(x)] ) ' = 0
2
~ ([f'(χ)] 2 [f(χ)] ) ' = 0
2
Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x)=[ f'(χ)] 2 [ f(χ)]
2
ορισμένη στο διάστημα [1, 2]
● Η h είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής στο [1, 2]σαν
άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με
h'(x)=2× f'(χ)× f''(χ)+2× f(χ)× f'(χ)
h(1)=[f'(1)] 2 [f(1)] 2 f(1) f'(2) h(1)=[f(2)] 2 [f'(2)] 2

h(2)=[f'(2)] 2 [f(2)] 2 f'(1) =f(2) h(2)=[f'(2)] 2 [f(2)] 2

h(1)= h(2)
Επομένως, ισχύουν οι υποθέσεις του θ. Rolle για την h στο
[1, 2], οπότε θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (1, 2) τέτοιο ώσ-
τε h'(ξ)=0, άρα

h'(ξ)= 0 2× f'(ξ)× f''(ξ)+2× f(ξ)× f'(ξ)= 0
f'(ξ) 0
2× f'(ξ)×[f''(ξ)+f(ξ)]= 0

f''(ξ)+f(ξ)= 0 f'(ξ)=-f(ξ)
Σ χ ό λ ι ο

ΟΔΗΓΟΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ:
Γενική μορφή ζητούμενης σχέσης f''(ξ) + f(ξ) =0
Ε υ ρ ε σ η τ η ς h
f''(x)=-f(x)` f''(x)+f(x) =0
` 2 × f'(x) × f''(x)+ 2 × f'(x) × f(x) =0
` [f'(χ)] 2 ' + [f(χ)] 2 '=0` [f'(χ)] +[f(χ)] 2 '
2
~h(x)= [f'(χ)] +[f(χ)]
2
2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017