Page 177 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 177

ROLLE: ΥΠΑΡΞΗ ΤΟ ΠΟΛΥ ... – ΑΚΡΙΒΩΣ ... ΡΙΖΩΝ

Δ ο σ μ έ ν α

● Η εξίσωση f(x)=0

Α ν τ ι μ ε τ ώ π ι σ η
Στη περίπτωση " ύπαρξη το πολύ κ ριζών"
● Δεχόμαστε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μία ρίζα περισσό-
τερη, δηλαδή έχει κ+1 ρίζες, τις ρ 1 , ρ 2 , ..., ρ κ , ρ κ +1 με
ρ 1 < ρ 2 < ...< ρ κ < ρ κ +1

● εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle για την f στα διαστήματα
[ρ 1 , ρ 2 ], [ρ 2 , ρ 3 ], ..., [ρ κ , ρ κ+ 1 ] οπότε υπάρχουν
ξ 1 (ρ 1 , ρ 2 ), ξ 2 (ρ 2 , ρ 3 ), ..., ξ κ (ρ κ , ρ κ+ 1 ) τέτοια, ώστε
f'(ξ 1 )= f'(ξ 1 )=,,,= f'(ξ k )=0
● εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle για την f' στα διαστήματα

[ξ 1 , ξ 2 ], [ξ 2 , ξ 3 ], ..., [ξ κ -1 , ξ κ ] και καταλήγουμε σε άτοπο

Στη περίπτωση " ύπαρξη ακριβώς κ ριζών"
● δείχνουμε την " ύπαρξη τουλάχιστον κ ριζών " με τους
γνωστούς τρόπους
● θεώρημα Rolle για τη συνάρτηση f' στο (α, β)
● θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση f' στο (α, β)
● θεώρημα ενδιάμεσων τιμών (0 f'((α, β)))
● προφανής ρίζα
● απαγωγή σε άτοπο
(αν f'(ξ) 0 για κάθε ξ (α, β) ... άτοπο)

● για τη εξίσωση f(x)=0 εφαρμόζουμε Rolle σε μιά αρχική
της f
● δείχνουμε την " ύπαρξη το πολύ κ ριζων " με τη βοήθεια
της πρηγούμενης περίπτωσης

Π α ρ α τ ή ρ η σ η
μνημονικά : ( και º)~=

που με λόγια
(τουλάχιστον κ ρίζες) και (το πολύ κ ρίζες)=
(ακριβώς κ ρίζες)

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017