Page 181 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 181

4. ROLLE – ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΚΡΙΒΩΣ ΜΙΑ ΡΙΖΑ
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση συνχ-2χ=0 έχει ακριβώς μία

ρίζα που ανήκει στο διάστημα 0 , 2 ,
(Εναλλακτικά: Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις

των συναρτήσεων f(x)=συνχ και g(x)=2x έχουν μόνο ένα
κοινό σημείο με τετμημένη που ανήκει στο διάστημα 0, )
2

Θεωρούμε τη συνάρτηση
h(x)= συνχ-2χ, χ
● Η h είναι συνεχής σ τ o δ ι -
π
άστημα 0,
2
(άθροισμα συνεχών)
h(0)= 1> 0
π
π : h(0)h( )< 0
h( )=-π< 0 2
2
... θ. Bolzano... η h(χ)=0 έ-
χει μία τουλάχιστον ρίζα
π
στο διάστημα 0,
2
Υποθέτουμε ότι η h(x)=0 έχει δύο ρίζες χ , χ με χ <χ στο
2
1
2
1
π
(χ , χ ) 0,
2
1
2
● Η h είναι συνεχής στο διάστημα [x , x ] (πράξεις συνεχών)
1 2
● Η h είναι παραγωγίσιμη στο (x , x ) (πράξεις παραγωγίσιμων)
1 2
με h'(x)=-ημx-2, χ
h(x )= h(x ) =0
2
1
Επομένως, ισχύουν οι υποθέσεις του θ . Rolle για την h στο
[x , x ] και θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (x , x ) (0, )
1
2
1
2
2
τέτοιο, ώστε
h'(ξ)=0`-ημξ-2=0`ημξ=-2 αδύνατη
Άρα η εξίσωση h(x)=0 έχει το πολύ μία ρίζα στο (0, )
2
Τελικά, η εξίσωση συνχ-2χ=0 έχει ακριβώς μία ρίζα που

α ν ήκει στο διάστημα 0, .
2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017