Page 166 - diaforikos
P. 166
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 166
6. ROLLE; – ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΤΗΣ f'(x)=0
(ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΗ)
Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με
f(x) =x -3x- 2, χ .
3
Να αποδ ε ίξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
Μ(n, f(n)), n (0, x ) με 1 x 1 2 της C , στο οποίο η f
1
f
δέχεται οριζόντια εφαπτομένη .
Το πεδίο ορισμού της συν-
άρτησης f είναι
Α=
Η f είναι παραγωγίσιμη
στο , σαν πολυωνυμική
μ ε
f'(x)=3χ -3
2
η f' είναι συνεχής στο
(0, χ 1) αφού είναι συνε-
χής στο (παρ α γωγίσι-
μη στο )
είναι
f'(0)= 3×0 -3=-3<0
2
f'(χ 1)= 3χ 1 -3>0
2
αφού
2
2
3χ 1 -3=3(χ 1 -1)= 3(χ 1-1)(χ 1+1)>0
1 0 1 2 0
1 2 1 1 ( 1)( 1) 0
1 1 0 1 0 1 1
1 1
Συνεπώς
α π ό το θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον n (0, χ 1),
τέτοιο ώστε
f'(n)=0
Άρα στο n (0, χ 1) η γραφική παράσταση της f δέχεται ορι-
ζόντια εφαπτομένη.
Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017