Page 166 - diaforikos
P. 166

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός                             166




                      6.  ROLLE; – ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΤΗΣ  f'(x)=0
                      (ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΗ)
                      Έστω η συνάρτηση f           παραγωγίσιμη στο            με
                      f(x)  =x -3x-  2, χ          .
                               3

                      Να αποδ ε ίξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
                      Μ(n,  f(n)),  n (0,  x ) με  1    x  1  2  της  C  , στο οποίο η f
                                               1
                                                                           f
                      δέχεται οριζόντια εφαπτομένη .

                   Το πεδίο ορισμού της συν-
                   άρτησης f είναι
                   Α=

                    Η f είναι παραγωγίσιμη
                      στο    , σαν πολυωνυμική
                      μ ε
                      f'(x)=3χ -3
                                 2

                    η f' είναι συνεχής στο
                      (0, χ 1) αφού είναι συνε-
                      χής στο       (παρ α γωγίσι-
                      μη στο     )

                    είναι
                      f'(0)= 3×0 -3=-3<0
                                    2
                      f'(χ 1)= 3χ 1 -3>0
                                     2
                       αφού
                          2
                                       2
                       3χ 1 -3=3(χ 1 -1)= 3(χ 1-1)(χ 1+1)>0
                                           1   0          1  2    0
                         1      2      1              1                (    1)(     1)  0
                             1             1  0           1  0            1       1
                                        1              1
                   Συνεπώς
                   α π ό το θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον n                      (0, χ 1),
                   τέτοιο ώστε
                   f'(n)=0

                   Άρα στο n       (0, χ 1) η γραφική παράσταση της f δέχεται ορι-
                   ζόντια εφαπτομένη.








                                                     Τακης Τσακαλακος   Κερκυρα   2017
   161   162   163   164   165   166   167   168   169   170   171