Page 187 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 187

3. Θ.Μ.Τ. – ΑΠΟΔΕΙΞΗ (ΠΟΛΛΑΠΛΟΣ ΤΥΠΟΣ)
1
Δίνεται η συνάρτηση f(x)= χ+ π ημ(πχ), χ 0
χ +2χ , χ> 0
2

Nα αποδείξετε ότι η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ.
(-2, 2) για τα οποία
στο [-2, 2] και να βρείτε τα σημεία ξ
ισχύει.

Έχουμε

f(-2)=-2+ 1 ημ(-2π)
π
=-2

f(2)= 2 +2× 2= 8
2
f(0)= 0

● Η f είναι συνεχής στο δι-
άστημα [-2, 2] γιατί
● είναι συνεχής για χ<0
(πράξεις συνεχών )
● είναι συνεχής για χ>0
(πολυωνυμική)
● είναι συνεχής για χ 0=0 αφού
f(0)= 0

lim f(x)= lim χ+ 1 ημ(πχ) = 0 lim f(x)= lim f(x)= f(0)
x 0 x 0 π x 0 x 0
lim f(x)= lim(χ 2 2x)= 0
x 0 x 0
● Η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (-2, 2) γιατί
● είναι παραγωγίσιμη για χ<0 (πράξεις παραγωγίσιμων)
● είναι παραγωγίσιμη για χ>0 (πολυωνυμική)
● είναι παραγωγίσιμη για χ 0=0 αφού
1 ημ(πχ) lim ημ(πχ) =1
χ+
lim f(x)-f(0) = lim π = lim 1+ ημ(πχ) x 0 = πx 2
x 0 x 0 x 0 x x 0 πx για u=πχ, χ 0ì u 0ì
lim ημu =1
u 0 u
2
lim f(x)-f(0) = lim χ +2χ = lim(x+2) = 2
x 0 x 0 x 0 x x 0
Άρα,
f(x)-f(0) f(x)-f(0)
lim = lim 2 =f'(0)
x 0 x 0 x 0 x 0

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017