Page 213 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 213

31.
Έστω οι συναρτήσεις f ,g: παραγωγίσιμες στο των
οποίων τα γραφήματα τεμνονται στα σημεία με τετμημένες
x =a+1 και x a 2 , (a ) .
1
2
Να δείξετε ότι :
f(x)-g(x)
α) Για τη συνάρτηση F: a με F(x)= ,x a
x-a
ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο

διάστημα [ a+1, a+2 ] .
β) Υπάρχει μια τουλάχιστον εφαπτομένη του C στο ση-
F
μ ε ίο του M(x , f(x )) με x 1 (a+1,a+2) τέτοια ώστε να
1
1
περνά απο το σημείο K(a, 0).

32.
Έστω οι συναρτήσεις f ,g: παραγωγίσιμες στο για
τις οποίες γνωρίζουμε ότι :
η f έχει δύο μόνο ρίζες στο τις x , x και
2
η g έχει επίσης δύο μόνο ρίζες στο 1 τις x , x
3 4
για τις οποίες ισχύει : x <x <x <x .
2
3
1
4
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f'(x) + g'(x) =0 έχει τουλάχι-
f(x) g(x)
στον τρεις ρίζες στο .

33.
Έστω οι συναρτήσεις f,g,h: παραγωγίσιμες στο μ ε

f(x) g(x) h(x) 0 , για κάθε x (a, b ) ενω f(a)=h(b)=0.
Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x 0 (a,b) τέτοιο
ώστε
f'(x ) + g'(x ) + h'(x ) =0.
0
0
0
f(x ) g(x ) h(x )
0
0
0

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017