Page 216 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 216

42.
Έστω η συνάρτηση f με f(x)= συνx - ημx
2
Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (0, π) τέτοιο, ώστε f''(ξ)=

.

43.
Έστω η συνάρτηση f δύο φορες παραγωγίσιμη στο , για
την οποία ισχύουν

f(3)=κ-1, f(4)=2κ-1, f(5)=3κ-1 με α
Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ξ τέτοιο, ώστε f''(ξ)=0 .

44.
Να αποδείξετε ότι:
α) lnx x-1 για κάθε πραγματικό αριθμό χ (0, + )

χ
β) e x+1 για κάθε πραγματικό αριθμό χ

45.
Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό χ (0, + )
ισχύει:

1 <ln(x+1)-lnx< 1
x+1 x

46.
Να αποδείξετε ότι, αν 0<α<β< , ισχύει:
2
β-α β-α
< εφβ-εφα<
2 2

47.
Δίνεται η συνάρτηση f που είναι συνεχής στο [1, 5] και
παραγωγίσιμη στο (1, 5).

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ 1 , ξ 2 , ξ (1, 5), διαφορετικά
α ν ά δύο, έτσι ώστε να ισχύει:
f'(ξ 1 )+ f'(ξ 2 )=2 f'(ξ)

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017