Page 212 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 212

27.
Δίνονται οι συναρτήσεις f ,g: παραγωγίσιμες δύο φ ο -
ρές στο , με f'(x) g'(x) 0 για κάθε x , και υπάρχουν
a b με f'(a) g'(a)=f'(b) g'(b)

Να δείξετε ότι η εξίσωσ η f''(x) + g''(x) =0, έχει μία τουλάχι-
f'(x) g'(x)
στον ρίιζα στο διάστημα (a, b).

28.
Δίνονται οι συναρτήσεις f,g: παραγωγίσιμες στο
και υπάρχουν a b f(a) -f(b) g(b) , όπου είναι g(x)
με e = g(a) 0
για κάθε x . Να δείξετε ότι :
α) Η συνάρτηση F(x)=e f(x) g(x), x ικανοποιεί τις υπο-
θέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [a, b] .
β) Υπάρχει ένα τουλάχιστον r (a, b) τέτοιο ώστε

f'(r)=- g'(r) .
g(r)

29.
Έστω οι συναρτήσεις f ,g: παραγωγίσιμες στο , με
g(χ) 0, για κάθε x , f(0)=0 , f(2)=4.
Να δεiξετε oτι :
f(x)-2x
α) Για τη συνάρτηση F(x)= g(x) , x ικανοποιούνται οι

υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [0, 2] .
β) Η εξίσωση f'(x)g(x)+2xg'(x)=2g(x)+f(x)g'(x) έχει μία
τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, 2) .

30.
Έστω η συνάρτηση f: παραγωγίσιμη στο με
a f(b)=b f(a) και f(x) x×f'(x), για κάθε x .
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει μια τουλάχιστον ρίζα
στο διάστημα [a, b].

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017