Page 208 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 208

6.
Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με
5 x 3
f(x) = x -5 3 + 2017, χ .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
Μ(ξ, f(ξ)), ξ (0, x ) με 1 x 2017 της C ,
1
1
f
στο οποίο η f δέχεται οριζόντια εφαπτομένη .

7.
4 2
Να αποδείξετε ότι η καμπύλη της f(x)= 5x +3x +2 στο
διάστημα (-1, 0) δέχεται οριζόντια εφαπτομένη.

8.
Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [α, β], για την
2
2
οποία ισχύει: a +f(β)=β +f(α)
Nα αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α, β), τ έ -
τοιο ώστε: f'(ξ)=2ξ

9.
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: , για την οποία
ισχύει: f(-1)=2 και f(3) = 10
Nα αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (-1, 3), τέ-
τοιο ώστε: f'(ξ)= 2ξ

10.
Δίνεται η συνάρτηση f πάραγωγίσιμη στο [α, β] με χ>0, για
την οποία ισχύει: lnf(2017)-lnf(2016) = 1
Nα αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα
ξ (2016, 2017), τέτοιο ώστε: f'(ξ)= f( ξ )

11.
Δίνεται η δύο φορές πάραγωγίσιμη συνάρτηση f: , με
f'(x) 0 και f(κ)= f'(λ) και f'(κ)= f(λ) κ, λ
Nα αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (κ, λ), τ έ -
τοιο ώστε: f''(ξ)= -f(ξ)

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017