Page 206 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 206

3. Θ.Μ.Τ. – ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β χ = γ χ +δ
χ
χ
Να λύσετε την εξίσωση
χ χ χ χ
5 -9 =2 -6

Στη δοσμένη εξίσωση πα-
ρατηρούμε ότι
● 5-2=9-6=3
Έτσι
5 -9 =2 -6 `
χ
χ
χ
χ

5 -2 =9 -6 (1)
χ
χ
χ
χ
Θεωρούμε τη συνάρτηση
f(u)=u με f'(u)=χ× u x 1
x
● Η f είναι συνεχής στο
(εκθετική) άρα και στα
διαστήματα [2, 5], [6, 9]
● Η f είναι παραγωγίσιμη
στο άρα και στα διαστή-
ματα (2, 5), (6, 9)

Συνεπώς,
ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στα διασ τ ήματα [2, 5], [6, 9]
και υπάρχει
f(5)-f(2) 5 -2 χ
χ
ξ 1 (2, 5) : f'(ξ 1 )= 5-2 = 3 (1)
f(9)-f(6) 9 -6 χ f'(ξ 1 )= f'(ξ 2 )~
χ
ξ 2 (6, 9) : f'(ξ 2 )= 9-6 = 3

χ= 0 χ= 0
χ× ξ 1 x -1 = χ× ξ 2 x -1 ~ χ×(ξ 1 x -1 -ξ 2 x -1 )= 0~ ή ή

ξ 1 x -1 -ξ 2 x -1 = 0 ξ 1 x -1 = ξ 2 x -1

χ= 0 χ= 0
χ= 0 χ= 0
ξ ξ 2 ή ή
1
~ ~ ή ~ ή
ξ x -1 ξ x -1 ξ 0
1 = 1 1 = 1 x-1= 0 x= 1
ξ ξ ξ
2 2 2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017