Page 202 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 202

4. Θ.Μ.Τ. – AΠΟΔΕΙΞΗ ΣΧΕΣΗΣ f'(ξ 1 )+ f'(ξ 2 )= 0
Δίνεται η συνάρτηση f που είναι συνεχής στο [α, β] και πα-
ραγωγίσιμη στο (α, β).

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ 1 , ξ 2 (α, β), διαφορετικά με-
ταξύ τους, έτσι ώστε να ισχύει: f'(ξ 1 )+ f'(ξ 2 )=0

Χωρίζουμε το διάστημα
[α, β] σε δύο υποδιαστή-
β-α
ματα πλάτους c=
2
α+β α+β
τα [α, ], [ , β]
2 2
● Η f είναι συνεχής στα
α+β α+β
[α, ], [ , β]
2 2
(συνεχής στο [α,β])
● Η f είναι παραγωγίσιμη
α+β α+β
στα (α, ), ( , β)
2 2
(παραγωγίσιμη στο (α,β))
Συνεπώς,
ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα
α+β α+β
(α, ), ( , β) και υπάρχει
2 2
α+β )-f(α) f( α+β )-f(α)
f(
2
ξ 1 (α, α+β ) : f'(ξ 1 )= α+β = 2× 2
β-α
2
2 -α
α+β α+β
α+β f(β)-f( 2 ) f(β)-f( 2 )
ξ 2 ( 2 , β) : f'(ξ 2 )= α+β = 2× β-α
β-
2
Άρα
α+β α+β
f( )-f(α) f(β)-f( ) f(α)=f(β)
f'(ξ 1 )+f'(ξ 2 ) =2× 2 +2× β-α 2 =2× f(β)-f(α) = 0
β-α
β-α

Σ χ ό λ ι ο

Οι τιμές f'(ξ 1), f'(ξ 2) είναι αντίθετοι αριθμοί.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017