Page 197 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 197

3. Θ.Μ.Τ. – ΑΝΙΣΟΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ h(α,β) º f(α,β) º g(α,β)
α β β
Να αποδείξετε ότι, αν 0<α<β, ισχύει: 1- β < ln α < α -1

Απο τη ζητούμενη σχέση
α β β
1- < ln < -1`
β α α

β-α < lnβ-lnα< β-α `
β α
1 < lnβ-lnα <
1
β β-α α

Θεωρούμε τη συνάρτηση
f(x)=lnx, x (0, + )

και το διάστημα [α, β]

● Η f είναι συνεχής στο
(0, + ) άρα και στο [α, β] (0, + )
(βασική συνεχής συνάρτηση)

● Η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ) άρα και στο (α, β) (0, + )

(βασική παραγωγίσιμη συνάρτηση) μ ε
1
f'(x)=
x

Συνεπώς,
ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. και υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο,
ώστε
f(β)-f(α) 1 lnβ-lnα
f'(ξ )= = (1)
β-α β-α

Όμως
1 1 1 (1) 1 lnβ-lnα 1
0< α< ξ< β > > < <
α ξ β β β-α α

β-α β-α α β
< lnβ-lnα< 1- < lnβ-lnα< -1
β α β α

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017