Page 193 - diaforikos
P. 193

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός                             193




                      2. Θ.Μ.Τ. – ΥΠΑΡΞΗ  ξ            ( α , β) ΩΣΤΕ  f''(x) = 0
                      Έστω η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο                         , για
                      την οποία ισχύουν
                      f(1)=α-2, f(3)=3α-2, f(5)=5α-2 με α
                      Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ξ               τέτοιο, ώστε f''(ξ)=0 .


                   Στις δοσμένες σχέσεις πα-
                   ρατηρούμε ότι
                       3 1   5   3   2
                       f(3)-f(1)= 2α

                       f(5)-f(3)= 2α
                   ● Η f είναι συνεχής στο
                      (παραγωγίσιμη), άρα και
                      στα διαστήματα
                       [1. 3],   [3,  5]

                   ● Η f είναι παραγωγίσιμη
                      στο    , άρα και στα δια-
                      στήματα  (1. 3),   (3,  5)
                   Σ  υ νεπώς,
                   ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. και υπάρχουν  ξ                    (1,   3) και
                                                                                   1
                   ξ     (3,   5) τέτοια, ώστε
                     2

                   f'(ξ  )=  f(3)-f(1)    =  2α = α
                        1       3-1          2             f'(ξ  )= f'(ξ  )

                   f'(ξ 2 )= f(5)-f(3)     =  2α = α           1        2
                                 5-3
                                              2
                   Ακόμη
                   ● Η f' είναι συνεχής στο          (παραγωγίσιμη), άρα και στο  [ξ ,   ξ ]
                                                                                                  2
                                                                                              1
                   ● Η f' είναι παραγωγίσιμη στο            , άρα και στο  (ξ ,   ξ )
                                                                                    2
                                                                                1
                   ●  f'(ξ 1 )= f'(ξ 2 )
                   Επομένως,
                   ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle και υπάρχει
                   ξ  (ξ ,   ξ ) τέτοιο, ώστε
                             2
                          1
                    f'' (ξ )= 0










                                                     Τακης Τσακαλακος   Κερκυρα   2017
   188   189   190   191   192   193   194   195   196   197   198