Page 193 - diaforikos
P. 193
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 193
2. Θ.Μ.Τ. – ΥΠΑΡΞΗ ξ ( α , β) ΩΣΤΕ f''(x) = 0
Έστω η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο , για
την οποία ισχύουν
f(1)=α-2, f(3)=3α-2, f(5)=5α-2 με α
Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ξ τέτοιο, ώστε f''(ξ)=0 .
Στις δοσμένες σχέσεις πα-
ρατηρούμε ότι
3 1 5 3 2
f(3)-f(1)= 2α
f(5)-f(3)= 2α
● Η f είναι συνεχής στο
(παραγωγίσιμη), άρα και
στα διαστήματα
[1. 3], [3, 5]
● Η f είναι παραγωγίσιμη
στο , άρα και στα δια-
στήματα (1. 3), (3, 5)
Σ υ νεπώς,
ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. και υπάρχουν ξ (1, 3) και
1
ξ (3, 5) τέτοια, ώστε
2
f'(ξ )= f(3)-f(1) = 2α = α
1 3-1 2 f'(ξ )= f'(ξ )
f'(ξ 2 )= f(5)-f(3) = 2α = α 1 2
5-3
2
Ακόμη
● Η f' είναι συνεχής στο (παραγωγίσιμη), άρα και στο [ξ , ξ ]
2
1
● Η f' είναι παραγωγίσιμη στο , άρα και στο (ξ , ξ )
2
1
● f'(ξ 1 )= f'(ξ 2 )
Επομένως,
ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle και υπάρχει
ξ (ξ , ξ ) τέτοιο, ώστε
2
1
f'' (ξ )= 0
Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017