Page 195 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 195

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. Θ.Μ.Τ. – AΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΊΣΌΤΙΚΗΣ ΣΧΈΣΗΣ f(x)º g(x)
Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό χ (0, + ),
ισχύει:
e ημχ < x×e+1

Θεωρούμε τη συνάρτηση
h(x)=e xe-1, x 0
● Η h είναι συνεχής στο
[0, χ]
(πράξεις συνεχών)
● Η h είναι παραγωγίσιμη

στο (0, χ)
(πράξεις παραγωγίσιμων)
Συνεπώς,
ισχύουν οι υποθέσεις του
Θ.Μ.Τ. και υπάρχει ξ (0, χ)
τέτοιο, ώστε

h'(ξ )= h(x)-h(0)
x-0
1
e ημx -xe-1-(e ημ0 -0× e-1) e ημx -xe-1-1+1
= = `
x x

h'(ξ )= e ημx -xe-1 (1)
x
Όμως
h'(x )= e ημx × συνχ-e ` h'(ξ )= e ημξ × συνξ-e

(1) e ημx -xe-1
` = e ημξ × συνξ-e (2)
x
Επίσης

π 0< συνξ< 1 0< συνξ< 1
0< ξ< ` ` ` e ημξ × συνξ< e
2 0< ημξ< 1 e ημξ < e 1

(2) e ημx -xe-1 χ >0
` e ημξ × συνξ-e< 0 ` < 0 ` e ημx -xe-1< 0
x
` e ημx < x× e+1

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017