Page 199 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 199

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. Θ.Μ.Τ. – AΠΟΔΕΙΞΗ f'(ξ 1 )+ f'(ξ 2 )+...+ f'(ξ κ )= μ × f'(ξ)
Δίνεται η συνάρτηση f που είναι συνεχής στο [3, 5] και
παραγωγίσιμη στο (3, 5).

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ 1 , ξ 2 , ξ (3, 5), διαφορετικά
ανά δύο, ετσι ώστε να ισχύει: f'(ξ 1 )+ f'(ξ 2 )=2 f'(ξ)

Χωρίζουμε το διάστημα
[3, 5] σε δύο υποδιαστή-
5 3
ματα πλάτους c= = 1
2
τα [3, 4], [4, 5]

● Η f είναι συνεχής στα

[3, 4] , [4, 5] , [3, 5]
(από υπόθεση)

● Η f είναι παραγωγίσιμη
στα (3, 4) , (4, 5) , (3, 5)

(από υπόθεση)
Συνεπώς,
ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα
(3, 4) , (4, 5) , (3, 5) και υπάρχει

ξ (3, 4) : f'(ξ )= f(4)-f(3) f(4)-f(3)
1 1 4-3

ξ 2 (4, 5) : f'(ξ 2 )= f(5)-f(4) f(5)-f(4)
5-4
f(5)-f(3) f(5)-f(3)
ξ (3, 5) : f'(ξ )=
5-3 2
Άρα
f(5)-f(3)
f'(ξ 1 )+f'(ξ 2 ) = f(4) -f(3) f(5)- f(4) 2 × 2 2 f'(ξ )

Σ χ ό λ ι ο

Οι τιμές f'(ξ 1), f'(ξ), f'(ξ 2) αποτελούν διαδοχικούς όρ ο υς α-
ριθμητικής προόδου ή ο f'(ξ 2) είναι αριθμητικός μέσος των
f'(ξ 1), f'(ξ 2).

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017