Page 201 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 201

ν 1 ν 2 ν κ
3. Θ.Μ.Τ. – AΠΟΔΕΙΞΗ ΣΧΕΣΗΣ f'(ξ ) + f'(ξ ) +... + f'(ξ ) = μ
2
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f 1 με κ
f(0)=2, f(3)=8

Να αποδείξετε ότι υπαρχουν ξ 1 , ξ 2 (0, 3), ετσι ώστε :
1 + 1 = 1
f'(ξ ) f'(ξ )
1
2

● Η f είναι συνεχής στο διάστημα [0, 3]
(αφού είναι παραγωγίσιμη στο άρα και στο (0,3))
Άρα
f(0)+f(3)
2<8`f(0)<f(3)` f(0)< <f(3)` f(0)<5<f(3)
2
συνεπώς, από Θ.Ε.Τ. υπάρχει ξ (2, 3), τέτοιο, ώστε

f(ξ)=5 (1)
Έτσι

● Η f είναι συνεχής στα διαστήματα [0, ξ] , [ξ, 3]
(αφού είναι παραγωγίσιμη στο )

● Η f είναι παραγωγίσιμη στα διαστήματα (0, ξ) , (ξ, 3)

(αφού είναι παραγωγίσιμη στο )

Συνεπώς, ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα
(0, ξ) , (ξ, 3)και υπάρχει
1
(1)
ξ 1 (0, ξ) : f'(ξ 1 )= f(ξ)-f(0) 5-2 ` f'(ξ ) = 3 (2)
ξ-0
ξ
1

(1)
ξ (0, ξ) : f'(ξ )= f(3)-f(ξ) 8-5 ` 1 = 3 (3)
2
2
3-ξ 3-ξ f'(ξ 2 ) 3

Από (2)+(3)
1 + 1 = 3 = 3 1
f'(ξ 1 ) f'(ξ 2 ) 3 3 3

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017