Page 200 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 200

2. Θ.Μ.Τ. – AΠΟΔΕΙΞΗ f'(ξ 1 )+ f'(ξ 2 )+...+ f'(ξ κ )= μ × f'(ξ)
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με f(15)=f(3)+8

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 (3, 15), διαφορετι-

κά ανά δύο, ώστε να ισχύει: f'(ξ 1 )+2 f'(ξ 2 )+ 3 f'(ξ 3 )=4

Χωρίζουμε το διάστημα
[3,5] σε τρία υποδιαστή-
ματα πάτους ανάλογου
των αριθμών 1,2,3
ν 1
c = 3 1 (β-α)= (15-3)= 2:
1
ν 6
i =1 i
[3, 5]
ν 2
c = 2 (β-α)= (15-3)= 4:
2 3 6
ν
i =1 i
[5, 9]

ν 3
c = 3 3 (β-α)= (15-3)= 6 : [9, 15]
3
ν 6
i =1 i
● Η f είναι συνεχής στα [3, 5] , [5, 9] , [9, 15]
(αφού είναι παραγωγίσιμη στο )
● Η f είναι παραγωγίσιμη στο και στα (3, 5) , (5, 9) , (9, 15)
Συνεπώς, ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα
(3, 5) , (5, 9) , (9, 15) και υπάρχει

ξ (3, 5) : f'(ξ )= f(5)-f(3) f(5)-f(3)
1 1 5-3 2
ξ 2 (5, 9) : f'(ξ 2 )= f(9)-f(5) f(9)-f(5)
4
9-5
f(15)-f(9) f(15)-f(9)
ξ 3 (9, 15) : f'(ξ )= 15-9 6

Άρα
f'(ξ 1 )+2f'(ξ 2 )+3f'(ξ 3 ) =
f(5)-f(3) f(9)-f(5) f(15)-f(9)
= 2 × 3 ×
2 4 2 6 2
f(5)-f(3) f(9)-f(5) f(15)-f(9) -f(3) f(15)
=
2 4
f(15) f(3)+8 -f(3) f(3)+8 = 4
υποθεση 4

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017