Page 207 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 207

Γ Ι Α Π Ρ Ο Π Ο Ν Η Σ Η . . .

1.
x -2x , x [0,1]
2
Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) =
e
ln(x )-x , x (1, e]

Nα αποδείξετε ότι ισχύουν όλες οι υποθέσεις του θεωρή-
ματος Rolle για την f.

2.
Nα αποδειξετε ότι ισχυουν ολες οι υποθεσεις του
2
Έστω η συνάρτηση f με f(x) =(x -3χ+2) ln(χ+3).
θεώρηματος Rolle για την f. (-2, 2),
Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο Μ(ξ, f(ξ)), με ξ
στο οποίο η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της f εί-
ναι παράλληλη με τον άξονα χ'χ.

3.
Nα δείξετε ότι συνάρτηση f(x)=1+συν2χ ικανοποιεί τις υ-

ποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [0, π] και
στη συνέχεια να βρείτε τον αριθμό χ 0 (0, π) του θεωρή-
ματος Rolle.

4.
Έστω η συνάρτηση f: δύο φορές παραγωγίσιμη με

f(0)=f(3)=f(6)
Να αποδείιξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (0, 6),
τέτοιο ώστε f''(ξ)=0

5.
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο
αx -3χ-γ γ x 0
2
f(x)=
x 2 +βx+1 0 x 1
Να προσδιορίσετε τα α,β,γ , με γ<0, ώστε για τη συνάρ-

τηση f να ισχύει το θεώρημα Rolle.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017