Page 209 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 209

12.
Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με χ , για την
οποία ισχύει: f 1 και f(0)= e
2
Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση f'(x)+f(x)συνχ=0 έχει μία
τουλάχιστον λύση στο διάστημα 0, π
2

13.
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: , για την οποία
ισχύει: f(1)=ε f( ε - 1 )
Nα αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ε -1 , 1), τέ-
τοιο ώστε: ξ×f'(ξ)= f( ξ )

14.
Δίνονται οι παραγωγισιμες συναρτήσεις f,g : [-1,2] ,
με f(x)× g (x) 0 για κ ά θ ε χ (0, 1) και για τις οποίες ισχύει:
f(-1)=g(2)=0
Nα αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (-1, 2),
f'(ξ) g'(ξ)
τέτοιο ώστε: + =0
f(ξ) g(ξ)

15.
Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g : [e, e+1] ,
με f(x)× g (x) 0 για κάθε χ (e, e+1) και για τις οποίες
ισχύει: f(e)=g(e+1)=1, f(e+1)=g(e)=0
Nα αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( e, e+1),

τέτοιο ώστε: f'(ξ) + g'(ξ) =0
f(ξ) g(ξ)

16. χ+ 1
Nα αποδείξετε ότι εξίσωση e ×χ =1, με x , έχει το πολύ
δύο πραγματικές και άνισες ρίζες .

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017