Page 214 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 214

34.
Έστω η συνάρτηση f: παραγωγίσιμη δύο φορές στο
η οποία δεν δέχεται οριζόντια εφαπτομένη σε κανένα
σημείο του .
Ακόμη γνωρίζουμε ότι η ευθεία που ορίζεται από τα σημεία
M(f'(a),f(a)) και N(f'(b),f(b)) με a<b διέρχεται από την αρ-
χή των αξόνων.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (a, b) τέτοιο
2
ώστε f'(ξ) =f(ξ) f''(ξ) .

35.
Έστω η συνάρτηση f: παραγωγίσιμη δύο φορές στο
για την οποία γνωρίζουμε ότι :
f x -x +f 7x-2x 2 =x -6x+9, για κάθε x .
2
2
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x (3,6)
τέτοιο ώστε f''(x )=0 . 0
0

36.
Έστω η συνάρτηση f: παραγωγίσιμη στο της
οποίας το γράφημα διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Να αποδ ε ίξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x 0 (0, 1)
τέτοιο ώστε
f'(x ) e 5 -x 0 -e x +3 =f(x ) .
0
0 e x +3 +e 5 -x 0 0
0

37.
2 2 -4χ+1 , x 0
Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = 2 -βχ+1 , x 0

a) Nα βρείτε τις τιμές των α, β για τις οποίες η f ικα-
νοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διά-
στημα [-1, 1].
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο Μ(ξ, f(ξ)) με ξ (-1, 1)
στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ευθεία
ε: 7x+2y+2017=0

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017