Page 219 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 219

Θ Ε Ω Ρ Ι Α ...

ΘΕΩΡΗΜΑ
Αν για μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ,
ισχύουν:
 είναι σ υ ν ε χ ή ς στο διάστημα Δ (κλειστό η ανοικτό).
 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ ισχύει f ’ ( x ) = 0 .
τότε η f είναι σ τ α θ ε ρ ή σ’όλο το διάστημα Δ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αρκεί να αποδείξουμε ότι για

οποιαδήποτε x 1,x 2 ∈ Δ ισχύει
f(x 1) = f(x 2). Πράγματι

 Αν x 1 = x 2, τoτε προφανώς
f(x 1) = f(x 2).

 Αν x 1 < x 2, τότε στο διά-
στημα [x 1, x 2] η f ικανοποι-

εί τις υποθέσεις του θ ε ω-

ρήματος μέσης τιμής.
Επομένως, υπάρχει ξ ∈ (x 1, x 2) τέτοιο, ώστε:

f'(ξ)= f(x )-f(x ) . (1)
2
1

x -x
2 1
Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f’(ξ) = 0,

οπότε λόγω της (1) είναι f(x 1) = f(x 2).

 Αν x 1 > x 2, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι f(x 1) = f(x 2).

Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι f(x 1) = f(x 2).

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

 Το παραπάνω θεώρημα ισχύει σε διάστημα και όχι σε ένωση
δ ι αστημάτων

(ισχύει όμως σε κάθε διάστημα χωριστά)

 Η συνάρτηση f τ ο υ παραπάνω θεώρηματος έχει γραφική
παράσταση που είναι ευθεία η μέρος ευθείας παράλληλης

προς τον άξονα x’x.

 Ισχύει και το αντίστροφο του παραπάνω θ ε ωρήμ α τος.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017