Page 223 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 223

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: , για την οποία
ισχύει f'(x)-2f(x)=2x-1 για κάθε χ
α) Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x)=e - 2x (f(x) +x)
είναι σταθερή
β) Αν f(0)=1, να βρείτε το τύπο των συναρτήσεων g, f .

α )
f'(x) -2f(x) = 2x-1`

f'(x) +1= 2f(x) +2x (1)
 Για κάθε χ είναι
g'(x)=[e -2x (f(x) +x)]' =

=(e -2x )' (f(x) +x)+e -2x
(f(x) +x)'

=-2e -2x (f(x) +x)+

+e -2x (f'(x) +1)

(1)
= -2e -2x (f(x) +x)+
+e -2x (2f(x) +2x)

=-2e -2x (f(x) +x)+2e -2x (f(x) +x) = 0

Δηλαδή η g είναι σταθερή με g(x)=c, χ

β )
Είναι
για χ = 0
g(x)= e -2x (f(x) +x)` c= e -2x (f(x) +x) ` c= e 0 (f(0) +0)

f(0) = 1
` c= 1 1 1
Έτσι
g(x)= 1 , χ
1= e -2x (f(x) +x)`f(x) +x= e 2x ` f(x) = e 2x -x , χ

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017