Page 225 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 225

3. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
Έστω οι συναρτήσεις f, g με κοινό πεδίο ορισμού (α, β), οι
οποίες είναι παραγωγίσιμες στο (α, β) και με σύνολο τ ιμών
το διάστημα (0, + ).
Θεωρούμε τις συναρτήησεις h 1 (x)=lnf(x) και h 2 (x)=lng(x),

τέτοιες ώστε h' 1 (x)=h' 2 (x) για κάθε χ (α, β).
Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση φ(x)= f(x) είναι σταθερή
g(x)
στο διάστημα (α, β).

Επειδή το σύνολο τιμών
των συναρτήσεων f, g εί-
ναι το (0, + ), τότε για
κάθε χ (α, β) ισχύει:
f(x)>0 και g(x)>0
Επομένως, ορίιζονται στο

(α, β) οι συναρτήσεις h 1 και
h 2 μ ε h 1(χ)=lnf(χ) και
h 2(x)=lng(x)
Για τη συνάρτηση
f(x)
φ(χ)= είναι
g(x)

 Η φ είναι συνεχής στο
(α,β), σαν πηλίκο συνεχών (f,g παρ α γωγίσιμες στο (α, β) άρα
και συνεχ ε ίς )
 Η φ είναι παραγωγίσιμη στο (α,β), σαν πηλίκο των παραγωγί-
σιμων συναρτήσεων f, g στο (α, β) με

f(x) f'(x) g(x)-f(x) g'(x)
φ'(χ)= ' (1)
g(x) [g(x)] 2
Από τη δοσμένη σχέση έχουμε
f'(x) g'(x)
h' 1(x)=h' 2(x)`[lnf(x)]'=[lng(x)]' `
f(x) g(x)
` f'(x) g(x)-f(x) g'(x) 0 (2)

Από τις (1) και (2) προκύπτει για κάθε χ (α, β): φ'(χ)=0
Επομένως,
σύμφωνα με τις συνέπειες του θ ε ωρήματος Μέσης Τιμής, η
συνάρτηση φ είναι σταθερή στο διάστημα (α, β).

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017