Page 229 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 229

2. ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (f'(x)=κ)
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: , για την οποία
ισχύει: f’ ( x)–1) 2f(0)(1–f(1)), για κάθε χ .
2
 Να υπολογίσετε τους αριθμούς f(0) και f(1).
 Να βρείτε το τύπο της f.

 Aπ’ το θεώρημα Μέσης
Τιμής για την f στο [0,1]
υπάρχει ξ, ώστε:
f(1)-f(0)
f'(ξ)=
1-0
f'(ξ)= f(1)-f(0) (1)

 Aπο τη σχέση της υπόθ ε -
σης για x = ξ και την (1),
έχουμε:

(f’(ξ)-1) 2 2f(0)
(1-f(1))`
(f(1)-f(0)-1) 2 2f(0) -2f(0)f(1)`
2
f (1)+f (0)+1-2f(1)f(0)-2f(1)+ f(0) 2f(0)-2f(0)f(1)`
2
2
2
f (1)+f (0)+1-2f(1) 0`
(f(1)-1) + f (0) 0 (2)
2
2

Όμως,
(f(1)-1) + f (0) 0 (3) σαν άθροισμα τετραγώνων,
2
2
οπότε, απο (2) και (3)
(f(1)-1) + f (0)=0
2
2
Δηλαδή f(1) = 1 και f(0) = 0 .

 H δοσμένη σχέση, για f(1) = 1 και f(0) = 0, γίνεται:
(f’ ( x)-1) 2 0
Όμως (f’ ( x)-1 2 0 σαν τ ε τ ρ άγωνο, γίνεται τελικά
(f’ ( x)-1) = 0~ f’ ( x) = 1~ f’ ( x) = (x)’~ f(x) = x + c (4)
2
Για x = 0 η (4) γίνεται:
f(0) = 0 + c ⇔ 0 = 0 + c ⇔ c = 0
Οπότε ο τύπος της f είναι:
f(x) = x με χ

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017