Page 232 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 232

5. . ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (f'(x)+ f (x) g'(x)=0)
π
Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με χ 0, 2 , για
την οποία ισχύει:
1
f(0)= και f'(x)=f(x)ημχ
e
Nα βρείτε το τύπο της συνάρτησης f.

Η δοσμένη σχέση γίνεται:
f'(x)= f(x)× ημχ

f'(x)-f(x)× ημχ= 0
f'(x)+f(x)×(συνχ)' = 0

f'(x)× e συνχ +f(x)×(συνχ)'

× e συνχ = 0
f'(x)× e συνχ +f(x)×(e συνχ )' = 0

[f(x)× e συνχ ]' = 0

Άρα η f(x)× e συνχ
π
είναι σταθερή στο 0, και
2
f(x)× e συνχ c (1)

Για χ=0 η (1) δίνει
1
f(0)× e συν0 c ` × e 1 c ` c 1
e
συνεπώς η (1)
f(x)× e συνχ 1 ` f(x)=e -συνχ

Άρ α ο ζητούμενος τύπος είναι
π
f(x)= e -συνχ , χ 0,
2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017