Page 230 - diaforikos
P. 230

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός                             230




                      3. ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ  (f'(x)= f(x))
                      Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:                (0, π)     (0, +    ), για
                      την οποία   ισχύει:
                      f’ ( x)ημχ– f(x)συνχ = f(x)ημχ
                      Να βρείτε το τύπο της f.


                    Aπ’ τη δοσμένη σχέση
                      προκύπτει:
                      f'(χ)ημχ-f(x)συνχ=

                     = f(x)ημχ

                      f'(χ)ημχ-f(x)συνχ        =
                                  2
                               ημ χ
                        f(x)ημχ
                     =
                             2
                          ημ χ
                      f'(χ)ημχ-f(x)(ημχ)'       =
                                   2
                               ημ χ
                        f(x)
                     =
                        ημχ

                      f(x)  ' = f(x) ,   χ  (0,  π)
                        ημχ     ημχ

                      Aπό τη βασική π ρ όταση έχουμε (*)
                      f(x)
                           =c e `  f(x)=c e       x  ημχ    (1)
                                  x
                      ημχ
                    Για χ=       η (1) δίνει
                              4

                                           π   π  2
                                          f 4  =  e 4 ×  2  π  2     2
                      f( )= c e  4  ημ      `     e ×      = c e 4       `  c= 1
                                                    4
                       4               4               2             2
                      Συνεπώς η (1):   f(x)=e       x  ημχ
                   Ο τύπος της f είναι :  f(x)=e × ημχ           ,   χ (0,  π)
                                                         x
                   (*)

                   Για κάθε χ
                   f’ ( x)=f(x)` f’ ( x)    - f(x)=0 ` e       - x  f’ ( x) - e - x  f(x)=0
                                       ` (e - x  f(x))’=0   (1)
                   Επομένως, υπάρχει σταθερά c                  ώστε για κάθε x           η (1)
                   γίνεται:

                                                     x
                   e - x  f(x)=c` f ( x ) = c  e



                                                     Τακης Τσακαλακος   Κερκυρα   2017
   225   226   227   228   229   230   231   232   233   234   235