Page 230 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 230

3. ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (f'(x)= f(x))
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (0, π) (0, + ), για
την οποία ισχύει:
f’ ( x)ημχ– f(x)συνχ = f(x)ημχ
Να βρείτε το τύπο της f.

 Aπ’ τη δοσμένη σχέση
προκύπτει:
f'(χ)ημχ-f(x)συνχ=

= f(x)ημχ

f'(χ)ημχ-f(x)συνχ =
2
ημ χ
f(x)ημχ
=
2
ημ χ
f'(χ)ημχ-f(x)(ημχ)' =
2
ημ χ
f(x)
=
ημχ

f(x) ' = f(x) , χ (0, π)
ημχ ημχ

Aπό τη βασική π ρ όταση έχουμε (*)
f(x)
=c e ` f(x)=c e x ημχ (1)
x
ημχ
 Για χ= η (1) δίνει
4

π π 2
f 4 = e 4 × 2 π 2 2
f( )= c e 4 ημ ` e × = c e 4 ` c= 1
4
4 4 2 2
Συνεπώς η (1): f(x)=e x ημχ
Ο τύπος της f είναι : f(x)=e × ημχ , χ (0, π)
x
(*)

Για κάθε χ
f’ ( x)=f(x)` f’ ( x) - f(x)=0 ` e - x f’ ( x) - e - x f(x)=0
` (e - x f(x))’=0 (1)
Επομένως, υπάρχει σταθερά c ώστε για κάθε x η (1)
γίνεται:

x
e - x f(x)=c` f ( x ) = c e

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017