Page 228 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 228

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (f'(x)=g'(x))
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: με τη C f να
τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο Α(0, 3), για την οποία
2x x
ισχύει f'(x) f(x)- f'(x)= e +e , για κάθε χ
Να βρείτε το τύπο της συνάρτησης f .

x
Οι συναρτήσεις f, e 2x , e
είναι παραγωγίσιμες σε κά-
θε χ , άρα και συνεχείς
στο
Έτσι
f'(x)f(x)-f'(x)= e 2x +e x

f (x) '-f'(x)= e 2x ' +(e )'
2
x
2 2

f (x) -f(x) ' = e 2x +e x '
2
2 2

f (x) -f(x)= e 2x +e +c
2
x
2 2 A(0,3)
Για x = 0 f(0) = 3
f (x)-2f(x)= e 2x +2e +2c
2
x
2
3 - 2 3 = e 0 + 2e 0 + 2c c = 0
2
f (x)-2f(x)-e 2x -2e = 0 (1)
x

 Λύνουμε την (1) ως προς f(x):

x
Δ= 4-4(- e 2x -2e )= 4+4 e 2x +8e = 4 (e 2x +2e +1)
x
x
x
=[2 (e +1)] 2 > 0
x

f(x)= 2±2 (e +1) = 1± (e +1)
x
2
f(x)= e +2 (f(0)= 3, αρα δεκτη)
x

f(x)=- e (f(0)=-1 3, απορριπτεται)
x

 Οτύπος της συνάρτησης f:
f(x)=e +2 , x
x

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017