Page 226 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 226

4. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ)
Αν για τη συνάρτηση f: ισχύει
|f(x)-f(y)| |x-y| , για κάθε χ,y με χ y
3
να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή στο .

Η δοσμένη σχέση γίνεται
διαδοχικά:

3
|f(x) - f(y)| |x - y| `

| f(x)-f(y)| |x - y| `
2
| x-y|

f(x)-f(y) |x - y| `
2
x-y

f(x)-f(y)
-|x - y| |x - y| 2
2
x-y
όμως
lim (-| x-y| )= lim| x-y| = 0
2
2
x y x y

Eπομένως σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής είναι
f(x)-f(y)
lim =0
x y x-y
Έτσι, απ’ τον ορισμό της παραγώγου έχουμε
f(x)-f(y)
f’ ( y) = lim =0
x y x-y

που σημαίνει, σύμφωνα με τις συνέπειες του θ ε ωρήμ α τος
Μέσης Τιμής, ότι
η σ υ νάρτηση f είναι σταθερή στο ,
αφού είναι τυχαίο το y .

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017