Page 233 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 233

6. ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (f'(x)+ κ f(x)=λ)
Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με χ , για την
οποία ισχύει:
2
f(0)= 5 και f'(x)+5f(x)=1, χ

Nα βρείτε το τύπο της συνάρτησης f.

Η δοσμένη σχέση γίνεται:
f'(x)+5f(x)= 1
f'(x) e 5x +5 e 5x f(x)= e 5x

f'(x) e 5x +(e 5x )' f(x)= e 5x

e 5x
(f(x) e 5x )' = '
5
e 5x
f(x) e 5x = c (1)
5
(σύμφωνα με το πόρισμα
αφού η f είναι συνεχής στο
(παραγωγίσιμη) και πα-
ραγωγίσιμη στο )

Για χ=0 η (1) δίνει
e 0 2 1 1
f(0) e = c ` × 1 c ` c
0
5 5 5 5
συνεπώς η (1)
e 5x 1 1 1 e 5x 1
f(x) e 5x = ` f(x)= ` f(x)=
5 5 5 5e 5x 5 5

Άρ α ο ζητούμενος τύπος είναι
e -5x 1
f(x)= + , χ
5 5

Σ χ ό λ ι ο

Όμοια με αυτή τη περίπτωση είναι η f'(x)+ κ f(x)=κ, αφού
πολλαπλασιάζουμε με e κχ και προκύπτει

f'(x) e x +κ e f(x)= κ e ` f'(x) e x +(e )' f(x)= κ e `
x
x

(e κχ f(x))' =(e )'`e κχ f(x)= e κx c ...
κx

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017