Page 234 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 234

7. ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (f'(x)+ f(x)=λ)
Δίνεται η συνάρτηση f πάραγωγίσιμη στο με χ , για την
οποία ισχύει:
f(0)=1 και f'(x)+f(x)=0, χ
Nα βρείτε το τύπο της συνάρτησης f.

Η δοσμένη σχέση γίνεται:
f'(x)+f(x)= 0
f'(x) e +e x f(x)= 0 e x
x
f'(x) e +(e )' f(x)= 0
x
x
x
(f(x) e )' = 0
f(x) e = c (1)
x

(η f είναι σταθερή στο
αφού είναι συνεχής στο
(παραγωγίσιμη) και παρα-
γωγίσιμη στο )

Για χ=0 η (1) δίνει
f(0) e =c ` 1× 1 c ` c 1
0

συνεπώς η (1)
f(x) e =1 ` f(x)=e
x
x

Άρ α ο ζητούμενος τύπος είναι
f(x)=e -x , χ

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017