Page 239 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 239

2. ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ)
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (0, + ) με
f'(1)=1, f(1)=0, για την οποία ισχύει
x
f(x y)+f y = 2f(x) (1), για κάθε χ,y

Να βρείτε το τύπο της συνάρτησης f .

 Για χ=y=1 η (1) γίνεται:
1 f(1) = 0
f(x)+f( )= 2f(1)
x

1
f(x)+f = 0 (2)
x
Η f είναι παραγωγίσιμη
και παραγωγίζοντας τη
(2) προκύπτει:
1 1
f'(x)+f' × ' = 0
x x

1 1
f '(x)- f ' = 0 (3)
x 2 x
 Παραγωγίζουμε ως προς χ την (1) θεωρώντας τον y σταθε-
ρό, και προκύπτει
1 1 Για x = 1, y = x 1 1 f'(x) = 1
f'(x× y)× y+f' × = 2f'(x) f'(x)× x+f' × = 2f'(1)
x y x x

f'(x)× x+f' 1 × 1 = 2 x > 0 f '(x)+ 1 f ' 1 = 2 (4)
x x x 2 x x
Απο (3)+(4):
2 1
2f'(x) = f'(x)= f'(x)=(lnx)' f(x)= lnx+c
x x

ιναι f(x) = lnx + c f(1) = ln1 + c = c
f(x)= lnx
Oμως f(1) = 0 τοτε c = 0
που είναι δεκτή, αφού επαληθεύει τη δοσμένη σχέση.

Άρα,
ο τύπος της συνάρτησης είναι
f(x)=lnx , χ * +

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017