Page 242 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 242

2. ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΧΕΣΗΣ
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: με
f'(0)=f(0)=1, για την οποία ισχύει
f''(x) = f(x), για κάθε χ
Να αποδείξετε ότι
α) f'(x) + f(x) = 2e , για κάθε χ
x
β) f(x) = e , για κάθε χ
x

α )
Η δοσμένη σχέση γίνεται
διαδοχικά:
f''(x)= f(χ) `

f''(x)+f'(x)= f'(x)+f(χ) `

[f'(x)+f(x)]' = f'(x)+f(χ) `

x
f'(x)+f(x)= c e (1)
Για χ=0 η (1) δίνει
f'(0)+f(0)= c e `
0

1+1= c 1 ` c 2
Έτσι η (1)
f'(x)+f(x)=2× e x , x

β )
Για κάθε χ

f'(x)+f(x)= 2× e ` f'(x)× e +f(x)× e = 2× e × e x
x
x
x
x
` f'(x)× e +f(x)×(e )' = 2× e 2x
x
x
x
` (f(x)× e )' =(e 2x )'
` f(x)× e = e 2x c 1
x
f(x)× e = e 2x ` f(x)= e x , x
x
`
για x= 0: f(0)× e = e +c ` c = 0
0
0
1 1

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017